გადაწყვიტეთ {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$2x-y-4x=-3$$

დააჯგუფეთ 2x და -4x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-y=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x-y=-3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=y-3$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{y}{2} y-ს.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} 1-ს.

$$x=\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$2x-y-4x=-3$$

დააჯგუფეთ 2x და -4x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-y=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$2x-y-4x=-3$$

დააჯგუფეთ 2x და -4x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-y=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

იმისათვის, რომ -2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

გაამარტივეთ.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

გამოაკელით -2x-2y=-1 -2x-y=-3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y+2y=-3+1$$

მიუმატეთ -y 2y-ს.

$$y=-3+1$$

მიუმატეთ -3 1-ს.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x+y=\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$