გადაწყვიტეთ {l}{2x-y=4}{3x-5y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=4$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{2}+2-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-5y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{y}{2}+2.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} -5y-ს.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{18}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{7}-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -\frac{18}{7} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

მიუმატეთ 2 -\frac{9}{7}-ს.

$$x=\frac{5}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

გაამარტივეთ.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

გამოაკელით 6x-10y=30 6x-3y=12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+10y=12-30$$

მიუმატეთ -3y 10y-ს.

$$7y=12-30$$

მიუმატეთ 12 -30-ს.

$$7y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=-\frac{18}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{7}-ით y აქ: 3x-5y=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{18}{7}.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

გამოაკელით \frac{90}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{15}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{5}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$