გადაწყვიტეთ {l}{2x-y=11}{x-2,5y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 11 } \\ { x - 2,5 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5,375$$

$$y=-0,25$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=11;x-2,5y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=11$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y+11$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე y+11.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11+y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x-2,5y=6.

$$\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}-2,5y=6$$

მიუმატეთ \frac{y}{2} -\frac{5y}{2}-ს.

$$-2y+\frac{11}{2}=6$$

გამოაკელით \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=\frac{1}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{4}-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -\frac{1}{4} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{1}{8}+\frac{11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} -\frac{1}{8}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{43}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{43}{8};y=-\frac{1}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=11;x-2,5y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2,5}{2\left(-2,5\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2,5\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-2,5\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-2,5\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 11-\frac{1}{4}\times 6\\\frac{1}{4}\times 11-\frac{1}{2}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{43}{8};y=-\frac{1}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=11;x-2,5y=6$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x-y=11;2x+2\left(-2,5\right)y=2\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$2x-y=11;2x-5y=12$$

გამოაკელით 2x-5y=12 2x-y=11-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-y+5y=11-12$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y+5y=11-12$$

მიუმატეთ -y 5y-ს.

$$4y=11-12$$

მიუმატეთ 11 -12-ს.

$$4y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{4}-ით y აქ: x-2,5y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-2,5\left(-\frac{1}{4}\right)=6$$

გაამრავლეთ -2,5-ზე -\frac{1}{4} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x+\frac{5}{8}=6$$

გამოაკელით \frac{5}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{43}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{43}{8};y=-\frac{1}{4}$$