გადაწყვიტეთ {l}{2x-y=1}{3x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=1$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე y+1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1+y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=4$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{1+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}-2y=4$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} -2y-ს.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -5.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} -\frac{5}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\3-2\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$6x-3y=3,6x-4y=8$$

გამოაკელით 6x-4y=8 6x-3y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-3y+4y=3-8$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+4y=3-8$$

მიუმატეთ -3y 4y-ს.

$$y=3-8$$

მიუმატეთ 3 -8-ს.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: 3x-2y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\left(-5\right)=4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -5.

$$3x+10=4$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=-5$$