გადაწყვიტეთ {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, m-ისთვის

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x=4m+2$$

ჩაანაცვლეთ 4m+2-ით x მეორე განტოლებაში, -x-5m=-5.

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

გაამრავლეთ -1-ზე 4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

მიუმატეთ -4m -5m-ს.

$$-9m-2=-5$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9m=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$m=\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით m აქ: x=4m+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

მიუმატეთ 2 \frac{4}{3}-ს.

$$x=\frac{10}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x=4m+2$$

გამოაკელით 4m ორივე მხარეს.

$$x-4m=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x=5m-5$$

გამოაკელით 5m ორივე მხარეს.

$$-x-5m=-5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და m.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x=4m+2$$

გამოაკელით 4m ორივე მხარეს.

$$x-4m=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x=5m-5$$

გამოაკელით 5m ორივე მხარეს.

$$-x-5m=-5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

იმისათვის, რომ x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

გაამარტივეთ.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

გამოაკელით -x-5m=-5 -x+4m=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4m+5m=-2+5$$

მიუმატეთ 4m 5m-ს.

$$9m=-2+5$$

მიუმატეთ -2 5-ს.

$$9m=3$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$m=\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით m აქ: -x-5m=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=\frac{10}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$