გადაწყვიტეთ {l}{2x-5y=-11}{3x+4y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 11 } \\ { 3 x + 4 y = 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-5y=-11,3x+4y=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-5y=-11$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=5y-11$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 5y-11.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y-11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=18.

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}\right)+4y=18$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{5y-11}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{33}{2}+4y=18$$

მიუმატეთ \frac{15y}{2} 4y-ს.

$$\frac{23}{2}y-\frac{33}{2}=18$$

მიუმატეთ \frac{33}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{2}y=\frac{69}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{2}\times 3-\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{2}-ზე 3.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{11}{2} \frac{15}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-5y=-11,3x+4y=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\left(-11\right)+\frac{5}{23}\times 18\\-\frac{3}{23}\left(-11\right)+\frac{2}{23}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-5y=-11,3x+4y=18$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-11\right),2\times 3x+2\times 4y=2\times 18$$

გაამარტივეთ.

$$6x-15y=-33,6x+8y=36$$

გამოაკელით 6x+8y=36 6x-15y=-33-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-15y-8y=-33-36$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-15y-8y=-33-36$$

მიუმატეთ -15y -8y-ს.

$$-23y=-33-36$$

მიუმატეთ -33 -36-ს.

$$-23y=-69$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 3x+4y=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\times 3=18$$

გაამრავლეთ 4-ზე 3.

$$3x+12=18$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$