გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y=5}{-4x-9y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { - 4 x - 9 y = 19 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$y = -\frac{29}{15} = -1\frac{14}{15} \approx -1.933333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=5$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -4x-9y=19.

$$-4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-9y=19$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{3y+5}{2}.

$$-6y-10-9y=19$$

მიუმატეთ -6y -9y-ს.

$$-15y-10=19$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15y=29$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=-\frac{29}{15}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{29}{15}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{29}{15}\right)+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -\frac{29}{15} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{29}{10}+\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{29}{10}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{2}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{15}\times 19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\-\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

იმისათვის, რომ 2x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\left(-9\right)y=2\times 19$$

გაამარტივეთ.

$$-8x+12y=-20,-8x-18y=38$$

გამოაკელით -8x-18y=38 -8x+12y=-20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-8x+8x+12y+18y=-20-38$$

მიუმატეთ -8x 8x-ს. პირობები -8x და 8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y+18y=-20-38$$

მიუმატეთ 12y 18y-ს.

$$30y=-20-38$$

მიუმატეთ -20 -38-ს.

$$30y=-58$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$y=-\frac{29}{15}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{29}{15}-ით y აქ: -4x-9y=19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x-9\left(-\frac{29}{15}\right)=19$$

გაამრავლეთ -9-ზე -\frac{29}{15}.

$$-4x+\frac{87}{5}=19$$

გამოაკელით \frac{87}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=\frac{8}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-\frac{2}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$