გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y=4}{4x+y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 4 x + y = - 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=4$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}+2-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+y=-6.

$$4\left(\frac{3}{2}y+2\right)+y=-6$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3y}{2}+2.

$$6y+8+y=-6$$

მიუმატეთ 6y y-ს.

$$7y+8=-6$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=-14$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -2.

$$x=-3+2$$

მიუმატეთ 2 -3-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 4+\frac{3}{14}\left(-6\right)\\-\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4,2\times 4x+2y=2\left(-6\right)$$

გაამარტივეთ.

$$8x-12y=16,8x+2y=-12$$

გამოაკელით 8x+2y=-12 8x-12y=16-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x-12y-2y=16+12$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y-2y=16+12$$

მიუმატეთ -12y -2y-ს.

$$-14y=16+12$$

მიუმატეთ 16 12-ს.

$$-14y=28$$

ორივე მხარე გაყავით -14-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 4x+y=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-2=-6$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-2$$