გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=1$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+5y=1.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{3y+1}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

მიუმატეთ \frac{9y}{2} 5y-ს.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{19}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -\frac{1}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} -\frac{3}{38}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{8}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

გაამარტივეთ.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

გამოაკელით 6x+10y=2 6x-9y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y-10y=3-2$$

მიუმატეთ -9y -10y-ს.

$$-19y=3-2$$

მიუმატეთ 3 -2-ს.

$$-19y=1$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=-\frac{1}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{19}-ით y აქ: 3x+5y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{1}{19}.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

მიუმატეთ \frac{5}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{24}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{8}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$