გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 6, რათა მიიღოთ 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 5-y-ზე.

$$2x+8=15-3y$$

დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$2x+8+3y=15$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=15-8$$

გამოაკელით 8 15-ს 7-ის მისაღებად.

$$2x+3y=7$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=1$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3y+1}{2}.

$$3y+1+3y=7$$

მიუმატეთ 3y 3y-ს.

$$6y+1=7$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 6, რათა მიიღოთ 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 5-y-ზე.

$$2x+8=15-3y$$

დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$2x+8+3y=15$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=15-8$$

გამოაკელით 8 15-ს 7-ის მისაღებად.

$$2x+3y=7$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 6, რათა მიიღოთ 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 5-y-ზე.

$$2x+8=15-3y$$

დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$2x+8+3y=15$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=15-8$$

გამოაკელით 8 15-ს 7-ის მისაღებად.

$$2x+3y=7$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

გამოაკელით 2x+3y=7 2x-3y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-3y=1-7$$

მიუმატეთ -3y -3y-ს.

$$-6y=1-7$$

მიუმატეთ 1 -7-ს.

$$-6y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 2x+3y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3=7$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=1$$