გადაწყვიტეთ {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+2-ზე.

$$2x-15=3y+6$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x-15-3y=6$$

დაამატეთ 15 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=6+15$$

შეკრიბეთ 6 და 15, რათა მიიღოთ 21.

$$2x-3y=21$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 7 x-4-ზე.

$$7x-28=-1-5y$$

დაამატეთ 5y ორივე მხარეს.

$$7x-28+5y=-1$$

დაამატეთ 28 ორივე მხარეს.

$$7x+5y=-1+28$$

შეკრიბეთ -1 და 28, რათა მიიღოთ 27.

$$7x+5y=27$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=21$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+21$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{21+3y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

მიუმატეთ \frac{21y}{2} 5y-ს.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

გამოაკელით \frac{147}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{31}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

მიუმატეთ \frac{21}{2} -\frac{9}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+2-ზე.

$$2x-15=3y+6$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x-15-3y=6$$

დაამატეთ 15 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=6+15$$

შეკრიბეთ 6 და 15, რათა მიიღოთ 21.

$$2x-3y=21$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 7 x-4-ზე.

$$7x-28=-1-5y$$

დაამატეთ 5y ორივე მხარეს.

$$7x-28+5y=-1$$

დაამატეთ 28 ორივე მხარეს.

$$7x+5y=-1+28$$

შეკრიბეთ -1 და 28, რათა მიიღოთ 27.

$$7x+5y=27$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+2-ზე.

$$2x-15=3y+6$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x-15-3y=6$$

დაამატეთ 15 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=6+15$$

შეკრიბეთ 6 და 15, რათა მიიღოთ 21.

$$2x-3y=21$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 7 x-4-ზე.

$$7x-28=-1-5y$$

დაამატეთ 5y ორივე მხარეს.

$$7x-28+5y=-1$$

დაამატეთ 28 ორივე მხარეს.

$$7x+5y=-1+28$$

შეკრიბეთ -1 და 28, რათა მიიღოთ 27.

$$7x+5y=27$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

იმისათვის, რომ 2x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

გაამარტივეთ.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

გამოაკელით 14x+10y=54 14x-21y=147-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-21y-10y=147-54$$

მიუმატეთ -21y -10y-ს.

$$-31y=147-54$$

მიუმატეთ 147 -54-ს.

$$-31y=93$$

ორივე მხარე გაყავით -31-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: 7x+5y=27. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

გაამრავლეთ 5-ზე -3.

$$7x-15=27$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=42$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-3$$