გადაწყვიტეთ {l}{2x+y-6=0}{2x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y - 6 = 0 } \\ { 2 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x+y=6$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+2y=0.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+2y=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{y}{2}+3.

$$-y+6+2y=0$$

მიუმატეთ -y 2y-ს.

$$y+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+3$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -6.

$$x=3+3$$

მიუმატეთ 3 3-ს.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-2}&-\frac{1}{2\times 2-2}\\-\frac{2}{2\times 2-2}&\frac{2}{2\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

გამოაკელით 2x+2y=0 2x+y-6=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+y-2y-6=0$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-2y-6=0$$

მიუმატეთ y -2y-ს.

$$-y-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: 2x+2y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+2\left(-6\right)=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -6.

$$2x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-6$$