გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=8-2x}{3(x-y)-2y=29}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 - 2 x } \\ { 3 ( x - y ) - 2 y = 29 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2x+y+2x=8$$

დააჯგუფეთ 2x და 2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$3x-3y-2y=29$$

დააჯგუფეთ -3y და -2y, რათა მიიღოთ -5y.

$$3x-5y=29$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+y=8,3x-5y=29$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+y=8$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}+2-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-5y=29.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+2\right)-5y=29$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{y}{4}+2.

$$-\frac{3}{4}y+6-5y=29$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{4} -5y-ს.

$$-\frac{23}{4}y+6=29$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{23}{4}y=23$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{23}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+2$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე -4.

$$x=1+2$$

მიუმატეთ 2 1-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2x+y+2x=8$$

დააჯგუფეთ 2x და 2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$3x-3y-2y=29$$

დააჯგუფეთ -3y და -2y, რათა მიიღოთ -5y.

$$3x-5y=29$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+y=8,3x-5y=29$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-5\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 8+\frac{1}{23}\times 29\\\frac{3}{23}\times 8-\frac{4}{23}\times 29\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2x+y+2x=8$$

დააჯგუფეთ 2x და 2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$3x-3y-2y=29$$

დააჯგუფეთ -3y და -2y, რათა მიიღოთ -5y.

$$3x-5y=29$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+y=8,3x-5y=29$$

იმისათვის, რომ 4x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4x+3y=3\times 8,4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 29$$

გაამარტივეთ.

$$12x+3y=24,12x-20y=116$$

გამოაკელით 12x-20y=116 12x+3y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+3y+20y=24-116$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y+20y=24-116$$

მიუმატეთ 3y 20y-ს.

$$23y=24-116$$

მიუმატეთ 24 -116-ს.

$$23y=-92$$

ორივე მხარე გაყავით 23-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: 3x-5y=29. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-5\left(-4\right)=29$$

გაამრავლეთ -5-ზე -4.

$$3x+20=29$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-4$$