გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=6$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

მიუმატეთ -2y -y-ს.

$$-3y+12=7$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{3}-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე \frac{5}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{5}{6}-ს.

$$x=\frac{13}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

გამოაკელით 8x-2y=14 8x+4y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+2y=24-14$$

მიუმატეთ 4y 2y-ს.

$$6y=24-14$$

მიუმატეთ 24 -14-ს.

$$6y=10$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{3}-ით y აქ: 4x-y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{26}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{13}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$