გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=-2}{4x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=-2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}-1-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+5y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{y}{2}-1.

$$-2y-4+5y=8$$

მიუმატეთ -2y 5y-ს.

$$3y-4=8$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 4.

$$x=-2-1$$

მიუმატეთ -1 -2-ს.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-3,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

გამოაკელით 8x+10y=16 8x+4y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-10y=-8-16$$

მიუმატეთ 4y -10y-ს.

$$-6y=-8-16$$

მიუმატეთ -8 -16-ს.

$$-6y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 4x+5y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+5\times 4=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე 4.

$$4x+20=8$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=4$$