გადაწყვიტეთ {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+8y=16$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-8y+16$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -8y+16.

$$x=-4y+8$$

ჩაანაცვლეთ -4y+8-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

გაამრავლეთ -1-ზე -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

მიუმატეთ 4y 2y-ს.

$$6y-8+11=0$$

მიუმატეთ -8 11-ს.

$$6y+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2}-ით y აქ: x=-4y+8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

მიუმატეთ 8 2-ს.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

იმისათვის, რომ 2x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

გაამარტივეთ.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

გამოაკელით -2x+4y+22=0 -2x-8y=-16-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y-4y-22=-16$$

მიუმატეთ -8y -4y-ს.

$$-12y-22=-16$$

მიუმატეთ 22 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12y=6$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2}-ით y აქ: -x+2y+11=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

მიუმატეთ -1 11-ს.

$$-x+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$