გადაწყვიტეთ {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+7y=15$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-7y+15$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7y+15}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{2} -5y-ს.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

გამოაკელით \frac{45}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{31}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{31}-ით y აქ: x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{2}-ზე -\frac{1}{31} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} \frac{7}{62}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{236}{31}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

გაამარტივეთ.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

გამოაკელით 6x-10y=46 6x+21y=45-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y+10y=45-46$$

მიუმატეთ 21y 10y-ს.

$$31y=45-46$$

მიუმატეთ 45 -46-ს.

$$31y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 31-ზე.

$$y=-\frac{1}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{31}-ით y აქ: 3x-5y=23. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

გამოაკელით \frac{5}{31} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{708}{31}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{236}{31}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$