გადაწყვიტეთ {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+4y=1$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-4y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -2y+\frac{1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

მიუმატეთ -4y -6y-ს.

$$-10y+1=-4$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$y=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით y აქ: x=-2y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} -1-ს.

$$x=-\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

გამოაკელით 2x-6y=-4 2x+4y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y+6y=1+4$$

მიუმატეთ 4y 6y-ს.

$$10y=1+4$$

მიუმატეთ 1 4-ს.

$$10y=5$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით y აქ: 2x-6y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

გაამრავლეთ -6-ზე \frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$