გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=6}{3x+6y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 3 x + 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=6,3x+6y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=6$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+6y=8.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+6y=8$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{3y}{2}+3.

$$-\frac{9}{2}y+9+6y=8$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{2} 6y-ს.

$$\frac{3}{2}y+9=8$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}y=-1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+3$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -\frac{2}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=1+3$$

მიუმატეთ 3 1-ს.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=6,3x+6y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-3\times 3}&\frac{2}{2\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 6-8\\-6+\frac{2}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=6,3x+6y=8$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 6,2\times 3x+2\times 6y=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$6x+9y=18,6x+12y=16$$

გამოაკელით 6x+12y=16 6x+9y=18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+9y-12y=18-16$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-12y=18-16$$

მიუმატეთ 9y -12y-ს.

$$-3y=18-16$$

მიუმატეთ 18 -16-ს.

$$-3y=2$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით y აქ: 3x+6y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+6\left(-\frac{2}{3}\right)=8$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{2}{3}.

$$3x-4=8$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-\frac{2}{3}$$