გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=6}{-4x+3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { - 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=6$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+3-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+3y=12.

$$-4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+3y=12$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{3y}{2}+3.

$$6y-12+3y=12$$

მიუმატეთ 6y 3y-ს.

$$9y-12=12$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9y=24$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8}{3}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}+3$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{8}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-4+3$$

მიუმატეთ 3 -4-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 3-3\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

გამოაკელით -4x+3y=12 2x+3y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x+4x+3y-3y=6-12$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x+4x=6-12$$

მიუმატეთ 2x 4x-ს.

$$6x=6-12$$

მიუმატეთ 6 -12-ს.

$$6x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: -4x+3y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-4\left(-1\right)+3y=12$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$4+3y=12$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{8}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$