გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=23}{x-2y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 23 } \\ { x - 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=23$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+23$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+23\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+23.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+23}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x-2y=-13.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}-2y=-13$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{2} -2y-ს.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{23}{2}=-13$$

გამოაკელით \frac{23}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{23}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე 7.

$$x=\frac{-21+23}{2}$$

მიუმატეთ \frac{23}{2} -\frac{21}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 23+\frac{3}{7}\left(-13\right)\\\frac{1}{7}\times 23-\frac{2}{7}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x+3y=23,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-13\right)$$

გაამარტივეთ.

$$2x+3y=23,2x-4y=-26$$

გამოაკელით 2x-4y=-26 2x+3y=23-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+3y+4y=23+26$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y+4y=23+26$$

მიუმატეთ 3y 4y-ს.

$$7y=23+26$$

მიუმატეთ 23 26-ს.

$$7y=49$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x-2y=-13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-2\times 7=-13$$

გაამრავლეთ -2-ზე 7.

$$x-14=-13$$

მიუმატეთ 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=7$$