გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{57}{35} = 1\frac{22}{35} = 1.6285714285714286$$

$$y=\frac{172}{35}-n$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=18-n$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+18-n$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+18-n.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-y=5n+1.6.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.6$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}.

$$-6y+36-2n-y=5n+1.6$$

მიუმატეთ -6y -y-ს.

$$-7y+36-2n=5n+1.6$$

გამოაკელით 36-2n განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=7n-34.4$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=\frac{172}{35}-n$$

ჩაანაცვლეთ -n+\frac{172}{35}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{172}{35}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -n+\frac{172}{35}.

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{258}{35}-\frac{n}{2}+9$$

მიუმატეთ 9-\frac{n}{2} \frac{3n}{2}-\frac{258}{35}-ს.

$$x=n+\frac{57}{35}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.6\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{57}{35}\\\frac{172}{35}-n\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.6\right)$$

გაამარტივეთ.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+3.2$$

გამოაკელით 8x-2y=10n+3.2 8x+12y=72-4n-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-3.2$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y+2y=72-4n-10n-3.2$$

მიუმატეთ 12y 2y-ს.

$$14y=72-4n-10n-3.2$$

მიუმატეთ 72-4n -10n-3.2-ს.

$$14y=68.8-14n$$

ორივე მხარე გაყავით 14-ზე.

$$y=\frac{172}{35}-n$$

ჩაანაცვლეთ \frac{172}{35}-n-ით y აქ: 4x-y=5n+1.6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-\left(\frac{172}{35}-n\right)=5n+1.6$$

გამოაკელით -\frac{172}{35}+n განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=4n+\frac{228}{35}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=n+\frac{57}{35}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$