გადაწყვიტეთ {l}{2x+3y=1}{3x-4y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x - 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{13}{17}\approx 0.764705882$$

$$y=-\frac{3}{17}\approx -0.176470588$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-4y=3.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-4y=3$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-3y+1}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}-4y=3$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{2} -4y-ს.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{3}{2}=3$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{17}{2}y=\frac{3}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{17}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{3}{17}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{17}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -\frac{3}{17} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{9}{34}+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{9}{34}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{13}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 3\\\frac{3}{17}-\frac{2}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{17}\\-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$6x+9y=3,6x-8y=6$$

გამოაკელით 6x-8y=6 6x+9y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+9y+8y=3-6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y+8y=3-6$$

მიუმატეთ 9y 8y-ს.

$$17y=3-6$$

მიუმატეთ 3 -6-ს.

$$17y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$y=-\frac{3}{17}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{17}-ით y აქ: 3x-4y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-4\left(-\frac{3}{17}\right)=3$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{3}{17}.

$$3x+\frac{12}{17}=3$$

გამოაკელით \frac{12}{17} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{39}{17}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{13}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$