გადაწყვიტეთ {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-65$$

$$y=70$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+2y=10$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-2y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -2y+10.

$$x=-y+5$$

ჩაანაცვლეთ -y+5-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

მიუმატეთ -\frac{y}{2} \frac{3y}{4}-ს.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$y=70$$

ჩაანაცვლეთ 70-ით y აქ: x=-y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-70+5$$

მიუმატეთ 5 -70-ს.

$$x=-65$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-65,y=70$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-65,y=70$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

იმისათვის, რომ 2x და \frac{x}{2} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

გამოაკელით x+\frac{3}{2}y=40 x+y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

მიუმატეთ y -\frac{3y}{2}-ს.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

მიუმატეთ 5 -40-ს.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$y=70$$

ჩაანაცვლეთ 70-ით y აქ: \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე 70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

გამოაკელით \frac{105}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=-65$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-65,y=70$$