გადაწყვიტეთ {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$2x+10-4y=-16x$$

დაამატეთ 16x ორივე მხარეს.

$$2x+10-4y+16x=0$$

დააჯგუფეთ 2x და 16x, რათა მიიღოთ 18x.

$$18x+10-4y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$18x-4y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 11y ორივე მხარეს.

$$10y-10x-11y=-12x$$

დააჯგუფეთ 10y და -11y, რათა მიიღოთ -y.

$$-y-10x=-12x$$

დაამატეთ 12x ორივე მხარეს.

$$-y-10x+12x=0$$

დააჯგუფეთ -10x და 12x, რათა მიიღოთ 2x.

$$-y+2x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$18x-4y=-10$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$18x=4y-10$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{18}-ზე 4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y-5}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

მიუმატეთ \frac{4y}{9} -y-ს.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

მიუმატეთ \frac{10}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{9}-ზე -2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{9} -\frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$2x+10-4y=-16x$$

დაამატეთ 16x ორივე მხარეს.

$$2x+10-4y+16x=0$$

დააჯგუფეთ 2x და 16x, რათა მიიღოთ 18x.

$$18x+10-4y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$18x-4y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 11y ორივე მხარეს.

$$10y-10x-11y=-12x$$

დააჯგუფეთ 10y და -11y, რათა მიიღოთ -y.

$$-y-10x=-12x$$

დაამატეთ 12x ორივე მხარეს.

$$-y-10x+12x=0$$

დააჯგუფეთ -10x და 12x, რათა მიიღოთ 2x.

$$-y+2x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$2x+10-4y=-16x$$

დაამატეთ 16x ორივე მხარეს.

$$2x+10-4y+16x=0$$

დააჯგუფეთ 2x და 16x, რათა მიიღოთ 18x.

$$18x+10-4y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$18x-4y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 11y ორივე მხარეს.

$$10y-10x-11y=-12x$$

დააჯგუფეთ 10y და -11y, რათა მიიღოთ -y.

$$-y-10x=-12x$$

დაამატეთ 12x ორივე მხარეს.

$$-y-10x+12x=0$$

დააჯგუფეთ -10x და 12x, რათა მიიღოთ 2x.

$$-y+2x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

იმისათვის, რომ 18x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 18-ზე.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

გამოაკელით 36x-18y=0 36x-8y=-20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

მიუმატეთ 36x -36x-ს. პირობები 36x და -36x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y+18y=-20$$

მიუმატეთ -8y 18y-ს.

$$10y=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 2x-y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-2$$