გადაწყვიტეთ {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა p, x-ისთვის

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი p-ისთვის, p-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2p+3x=10$$

გამოაკელით 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2p=-3x+10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3x}{2}+5-ით p მეორე განტოლებაში, p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

მიუმატეთ -\frac{3x}{2} -x-ს.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

მიუმატეთ 5 2-ს.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{14}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{14}{5}-ით x აქ: p=-\frac{3}{2}x+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{14}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

მიუმატეთ 5 -\frac{21}{5}-ს.

$$p=\frac{4}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - p და x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

იმისათვის, რომ 2p და p ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

გაამარტივეთ.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

გამოაკელით 2p-2x+4=0 2p+3x=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

მიუმატეთ 2p -2p-ს. პირობები 2p და -2p გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x+2x-4=10$$

მიუმატეთ 3x 2x-ს.

$$5x-4=10$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=14$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{14}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{14}{5}-ით x აქ: p-x+2=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

მიუმატეთ -\frac{14}{5} 2-ს.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=\frac{4}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$