გადაწყვიტეთ {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2m+3n=1$$

გამოაკელით 3n განტოლების ორივე მხარეს.

$$2m=-3n+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3n+1}{2}-ით m მეორე განტოლებაში, 7m+3n=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

მიუმატეთ -\frac{21n}{2} 3n-ს.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

გამოაკელით \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{15}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით n აქ: m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -\frac{1}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

გამოაკელით 7m+3n=6 2m+3n=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

მიუმატეთ 3n -3n-ს. პირობები 3n და -3n გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2m-7m=1-6$$

მიუმატეთ 2m -7m-ს.

$$-5m=1-6$$

მიუმატეთ 1 -6-ს.

$$-5m=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$m=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით m აქ: 7m+3n=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ n.

$$7+3n=6$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3n=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$n=-\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$