გადაწყვიტეთ {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2m+3n=1$$

გამოაკელით 3n განტოლების ორივე მხარეს.

$$2m=-3n+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3n+1}{2}-ით m მეორე განტოლებაში, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

გაამრავლეთ \frac{5}{3}-ზე \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

მიუმატეთ -\frac{5n}{2} -2n-ს.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

გამოაკელით \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=-\frac{1}{27}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{27}-ით n აქ: m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -\frac{1}{27} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{1}{18}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=\frac{5}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

იმისათვის, რომ 2m და \frac{5m}{3} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{5}{3}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

გამოაკელით \frac{10}{3}m-4n=2 \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

მიუმატეთ \frac{10m}{3} -\frac{10m}{3}-ს. პირობები \frac{10m}{3} და -\frac{10m}{3} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

მიუმატეთ 5n 4n-ს.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} -2-ს.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$n=-\frac{1}{27}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{27}-ით n აქ: \frac{5}{3}m-2n=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

გამოაკელით \frac{2}{27} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$m=\frac{5}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$