გადაწყვიტეთ {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=5$$

$$b=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2a+3b=4$$

გამოაკელით 3b განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=-3b+4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3b}{2}+2-ით a მეორე განტოლებაში, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

მიუმატეთ 3b 3b-ს.

$$6b-4=-16$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6b=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$b=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით b აქ: a=-\frac{3}{2}b+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -2.

$$a=3+2$$

მიუმატეთ 2 3-ს.

$$a=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=5,b=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=5,b=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

გამოაკელით -2a+3b=-16 2a+3b=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

მიუმატეთ 3b -3b-ს. პირობები 3b და -3b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2a+2a=4+16$$

მიუმატეთ 2a 2a-ს.

$$4a=4+16$$

მიუმატეთ 4 16-ს.

$$4a=20$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$a=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით a აქ: -2a+3b=-16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$-2\times 5+3b=-16$$

გაამრავლეთ -2-ზე 5.

$$-10+3b=-16$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3b=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$b=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=5,b=-2$$