გადაწყვიტეთ {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 6x+3-ზე.

$$2-y=12x+6+y$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$2-y-12x=6+y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2-y-12x-y=6$$

დააჯგუფეთ -y და -y, რათა მიიღოთ -2y.

$$2-2y-12x=6$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$-2y-12x=6-2$$

გამოაკელით 2 6-ს 4-ის მისაღებად.

$$-2y-12x=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x+4-3y=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x-3y=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2y-12x=4$$

მიუმატეთ 12x განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=12x+4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 12x+4.

$$y=-6x-2$$

ჩაანაცვლეთ -6x-2-ით y მეორე განტოლებაში, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

გაამრავლეთ -3-ზე -6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

მიუმატეთ 18x x-ს.

$$19x+6=-4$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$19x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$x=-\frac{10}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{10}{19}-ით x აქ: y=-6x-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

გაამრავლეთ -6-ზე -\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

მიუმატეთ -2 \frac{60}{19}-ს.

$$y=\frac{22}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 6x+3-ზე.

$$2-y=12x+6+y$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$2-y-12x=6+y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2-y-12x-y=6$$

დააჯგუფეთ -y და -y, რათა მიიღოთ -2y.

$$2-2y-12x=6$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$-2y-12x=6-2$$

გამოაკელით 2 6-ს 4-ის მისაღებად.

$$-2y-12x=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x+4-3y=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x-3y=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 6x+3-ზე.

$$2-y=12x+6+y$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$2-y-12x=6+y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2-y-12x-y=6$$

დააჯგუფეთ -y და -y, რათა მიიღოთ -2y.

$$2-2y-12x=6$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$-2y-12x=6-2$$

გამოაკელით 2 6-ს 4-ის მისაღებად.

$$-2y-12x=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x+4-3y=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x-3y=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

იმისათვის, რომ -2y და -3y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

გამოაკელით 6y-2x=8 6y+36x=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

მიუმატეთ 6y -6y-ს. პირობები 6y და -6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36x+2x=-12-8$$

მიუმატეთ 36x 2x-ს.

$$38x=-12-8$$

მიუმატეთ -12 -8-ს.

$$38x=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 38-ზე.

$$x=-\frac{10}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{10}{19}-ით x აქ: -3y+x=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

მიუმატეთ \frac{10}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=\frac{22}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$