გადაწყვიტეთ {l}{2(x+y)-(x-y)=4}{4(x+y)+(x-y)=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 4 } \\ { 4 ( x + y ) + ( x - y ) = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=4$$

x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2y-x+y=4$$

დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x+2y+y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და y, რათა მიიღოთ 3y.

$$x+3y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y+x-y=8$$

დააჯგუფეთ 4x და x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+4y-y=8$$

დააჯგუფეთ 4y და -y, რათა მიიღოთ 3y.

$$5x+3y=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+3y=4,5x+3y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+3y=4$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3y+4$$

ჩაანაცვლეთ -3y+4-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+3y=8.

$$5\left(-3y+4\right)+3y=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე -3y+4.

$$-15y+20+3y=8$$

მიუმატეთ -15y 3y-ს.

$$-12y+20=8$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-3y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3+4$$

მიუმატეთ 4 -3-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=4$$

x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2y-x+y=4$$

დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x+2y+y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და y, რათა მიიღოთ 3y.

$$x+3y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y+x-y=8$$

დააჯგუფეთ 4x და x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+4y-y=8$$

დააჯგუფეთ 4y და -y, რათა მიიღოთ 3y.

$$5x+3y=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+3y=4,5x+3y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\times 5}&-\frac{3}{3-3\times 5}\\-\frac{5}{3-3\times 5}&\frac{1}{3-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\\\frac{5}{12}\times 4-\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=4$$

x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2y-x+y=4$$

დააჯგუფეთ 2x და -x, რათა მიიღოთ x.

$$x+2y+y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და y, რათა მიიღოთ 3y.

$$x+3y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y+x-y=8$$

დააჯგუფეთ 4x და x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+4y-y=8$$

დააჯგუფეთ 4y და -y, რათა მიიღოთ 3y.

$$5x+3y=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+3y=4,5x+3y=8$$

გამოაკელით 5x+3y=8 x+3y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-5x+3y-3y=4-8$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x-5x=4-8$$

მიუმატეთ x -5x-ს.

$$-4x=4-8$$

მიუმატეთ 4 -8-ს.

$$-4x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: 5x+3y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$5+3y=8$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$