გადაწყვიტეთ {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+3-ზე.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+1-ზე.

$$2x+6=3y+3+1$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$2x+6=3y+4$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x+6-3y=4$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=4-6$$

გამოაკელით 6 4-ს -2-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-1-ზე.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-2-ზე.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

შეკრიბეთ -4 და 3, რათა მიიღოთ -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x-3y-3=-1$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$x-3y=-1+3$$

შეკრიბეთ -1 და 3, რათა მიიღოთ 2.

$$x-3y=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=-2$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}-1-ით x მეორე განტოლებაში, x-3y=2.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} -3y-ს.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -2.

$$x=-3-1$$

მიუმატეთ -1 -3-ს.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+3-ზე.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+1-ზე.

$$2x+6=3y+3+1$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$2x+6=3y+4$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x+6-3y=4$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=4-6$$

გამოაკელით 6 4-ს -2-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-1-ზე.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-2-ზე.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

შეკრიბეთ -4 და 3, რათა მიიღოთ -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x-3y-3=-1$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$x-3y=-1+3$$

შეკრიბეთ -1 და 3, რათა მიიღოთ 2.

$$x-3y=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+3-ზე.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y+1-ზე.

$$2x+6=3y+3+1$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$2x+6=3y+4$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$2x+6-3y=4$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$2x-3y=4-6$$

გამოაკელით 6 4-ს -2-ის მისაღებად.

$$2x-3y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-1-ზე.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-2-ზე.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

შეკრიბეთ -4 და 3, რათა მიიღოთ -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x-3y-3=-1$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$x-3y=-1+3$$

შეკრიბეთ -1 და 3, რათა მიიღოთ 2.

$$x-3y=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

გამოაკელით x-3y=2 2x-3y=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

მიუმატეთ -3y 3y-ს. პირობები -3y და 3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x-x=-2-2$$

მიუმატეთ 2x -x-ს.

$$x=-2-2$$

მიუმატეთ -2 -2-ს.

$$x=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით x აქ: x-3y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-4-3y=2$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-2$$