გადაწყვიტეთ {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

გაამრავლეთ 2-ზე x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

გაამრავლეთ -3-ზე y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

მიუმატეთ 4 3-ს.

$$2x-3y+7=13$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x-3y=6$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

მიუმატეთ 3 2-ს.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

გაამრავლეთ 5-ზე y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

მიუმატეთ \frac{9y}{2} 5y-ს.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

მიუმატეთ 15 -5-ს.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{11}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{5}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{11}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

მიუმატეთ 3 \frac{33}{10}-ს.

$$x=\frac{63}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

გაამარტივეთ პირველი განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

გაამრავლეთ 2-ზე x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

გაამრავლეთ -3-ზე y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

მიუმატეთ 4 3-ს.

$$2x-3y+7=13$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x-3y=6$$

გაამრატივეთ მეორე განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

გაამრავლეთ 3-ზე x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

გაამრავლეთ 5-ზე y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

მიუმატეთ 6 -5-ს.

$$3x+5y+1=30.9$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x+5y=29.9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$