გადაწყვიტეთ {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-4-ზე.

$$6x-8+3y=31$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$6x+3y=31+8$$

შეკრიბეთ 31 და 8, რათა მიიღოთ 39.

$$6x+3y=39$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 2,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x-2y=50$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+3y=39$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-3y+39$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+13}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{2} -2y-ს.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

გამოაკელით \frac{65}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{35}{9}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{35}{9}-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -\frac{35}{9} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

მიუმატეთ \frac{13}{2} \frac{35}{18}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{76}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-4-ზე.

$$6x-8+3y=31$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$6x+3y=31+8$$

შეკრიბეთ 31 და 8, რათა მიიღოთ 39.

$$6x+3y=39$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 2,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x-2y=50$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-4-ზე.

$$6x-8+3y=31$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$6x+3y=31+8$$

შეკრიბეთ 31 და 8, რათა მიიღოთ 39.

$$6x+3y=39$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 2,5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x-2y=50$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

იმისათვის, რომ 6x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

გაამარტივეთ.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

გამოაკელით 30x-12y=300 30x+15y=195-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

მიუმატეთ 30x -30x-ს. პირობები 30x და -30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$15y+12y=195-300$$

მიუმატეთ 15y 12y-ს.

$$27y=195-300$$

მიუმატეთ 195 -300-ს.

$$27y=-105$$

ორივე მხარე გაყავით 27-ზე.

$$y=-\frac{35}{9}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{35}{9}-ით y აქ: 5x-2y=50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

გამოაკელით \frac{70}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=\frac{380}{9}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{76}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$