გადაწყვიტეთ {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

გაამრავლეთ 3-ზე y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

მიუმატეთ -6 12-ს.

$$4x+3y+6=7$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+1}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} 2-ს.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

გაამრავლეთ -5-ზე -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

მიუმატეთ -3y 5y-ს.

$$2y+9-10=-3$$

მიუმატეთ 9 -10-ს.

$$2y-1=-3$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{3}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

გაამარტივეთ პირველი განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

გაამრავლეთ 3-ზე y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

მიუმატეთ -6 12-ს.

$$4x+3y+6=7$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x+3y=1$$

გაამრატივეთ მეორე განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

გაამრავლეთ 4-ზე x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

გაამრავლეთ -5-ზე -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

მიუმატეთ 8 -10-ს.

$$4x+5y-2=-3$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x+5y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-1$$