გადაწყვიტეთ {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$16m+50n=55$$

გამოაკელით 50n განტოლების ორივე მხარეს.

$$16m=-50n+55$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{16}-ზე -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}-ით m მეორე განტოლებაში, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

მიუმატეთ -\frac{25n}{4} 4n-ს.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

გამოაკელით \frac{55}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=\frac{5}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{6}-ით n აქ: m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

გაამრავლეთ -\frac{25}{8}-ზე \frac{5}{6} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

მიუმატეთ \frac{55}{16} -\frac{125}{48}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

იმისათვის, რომ 16m და 2m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 16-ზე.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

გამოაკელით 32m+64n=80 32m+100n=110-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

მიუმატეთ 32m -32m-ს. პირობები 32m და -32m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$100n-64n=110-80$$

მიუმატეთ 100n -64n-ს.

$$36n=110-80$$

მიუმატეთ 110 -80-ს.

$$36n=30$$

ორივე მხარე გაყავით 36-ზე.

$$n=\frac{5}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{6}-ით n აქ: 2m+4n=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

გამოაკელით \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2m=\frac{5}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$m=\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$