გადაწყვიტეთ {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$11x+19y=25$$

გამოაკელით 19y განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=-19y+25$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{11}-ზე -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-19y+25}{11}-ით x მეორე განტოლებაში, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

გაამრავლეთ 19-ზე \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

მიუმატეთ -\frac{361y}{11} 11y-ს.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

გამოაკელით \frac{475}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{240}{11}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{31}{24}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{24}-ით y აქ: x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

გაამრავლეთ -\frac{19}{11}-ზე \frac{31}{24} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

მიუმატეთ \frac{25}{11} -\frac{589}{264}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{1}{24}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

იმისათვის, რომ 11x და 19x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 19-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 11-ზე.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

გაამარტივეთ.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

გამოაკელით 209x+121y=165 209x+361y=475-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

მიუმატეთ 209x -209x-ს. პირობები 209x და -209x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$361y-121y=475-165$$

მიუმატეთ 361y -121y-ს.

$$240y=475-165$$

მიუმატეთ 475 -165-ს.

$$240y=310$$

ორივე მხარე გაყავით 240-ზე.

$$y=\frac{31}{24}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{24}-ით y აქ: 19x+11y=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

გაამრავლეთ 11-ზე \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

გამოაკელით \frac{341}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$19x=\frac{19}{24}$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$x=\frac{1}{24}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$