გადაწყვიტეთ {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=10$$

$$y=14$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10x+5y=170$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-5y+170$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+17-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

მიუმატეთ -3y 10y-ს.

$$7y+102=200$$

გამოაკელით 102 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=98$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=14$$

ჩაანაცვლეთ 14-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 14.

$$x=-7+17$$

მიუმატეთ 17 -7-ს.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=14$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=10,y=14$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

იმისათვის, რომ 10x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

გაამარტივეთ.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

გამოაკელით 60x+100y=2000 60x+30y=1020-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

მიუმატეთ 60x -60x-ს. პირობები 60x და -60x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$30y-100y=1020-2000$$

მიუმატეთ 30y -100y-ს.

$$-70y=1020-2000$$

მიუმატეთ 1020 -2000-ს.

$$-70y=-980$$

ორივე მხარე გაყავით -70-ზე.

$$y=14$$

ჩაანაცვლეთ 14-ით y აქ: 6x+10y=200. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+10\times 14=200$$

გაამრავლეთ 10-ზე 14.

$$6x+140=200$$

გამოაკელით 140 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=60$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=14$$