გადაწყვიტეთ {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10x+10y=9$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-10y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

ჩაანაცვლეთ -y+\frac{9}{10}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

გაამრავლეთ 5-ზე -y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

მიუმატეთ -5y -2y-ს.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

გამოაკელით \frac{9}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით y აქ: x=-y+\frac{9}{10}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

მიუმატეთ \frac{9}{10} -\frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{2}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

იმისათვის, რომ 10x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

გაამარტივეთ.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

გამოაკელით 50x-20y=10 50x+50y=45-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

მიუმატეთ 50x -50x-ს. პირობები 50x და -50x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$50y+20y=45-10$$

მიუმატეთ 50y 20y-ს.

$$70y=45-10$$

მიუმატეთ 45 -10-ს.

$$70y=35$$

ორივე მხარე გაყავით 70-ზე.

$$y=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით y აქ: 5x-2y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{2}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$