გადაწყვიტეთ {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.5x-0.8y=-5$$

მიუმატეთ \frac{4y}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.5x=0.8y-5$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y}{5}-10-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

მიუმატეთ \frac{8y}{15} \frac{y}{5}-ს.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

მიუმატეთ \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{15}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით y აქ: x=1.6y-10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=1.6\times 10-10$$

გაამრავლეთ 1.6-ზე 10.

$$x=16-10$$

მიუმატეთ -10 16-ს.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=10$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=10$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{2} და \frac{x}{3} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{3}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.5-ზე.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

გამოაკელით \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

მიუმატეთ \frac{x}{6} -\frac{x}{6}-ს. პირობები \frac{x}{6} და -\frac{x}{6} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{15} -\frac{y}{10}-ს.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -2-ს.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{11}{30}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით y აქ: \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}x=2$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=10$$