გადაწყვიტეთ {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=28$$

$$y=30$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.5x+0.7y=35$$

გამოაკელით \frac{7y}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.5x=-0.7y+35$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{5}+70-ით x მეორე განტოლებაში, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{5} \frac{2y}{5}-ს.

$$-y+70=40$$

გამოაკელით 70 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=30$$

ჩაანაცვლეთ 30-ით y აქ: x=-1.4y+70. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-1.4\times 30+70$$

გაამრავლეთ -1.4-ზე 30.

$$x=-42+70$$

მიუმატეთ 70 -42-ს.

$$x=28$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=28,y=30$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=28,y=30$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{2} და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.5-ზე.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

გაამარტივეთ.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

გამოაკელით 0.5x+0.2y=20 0.5x+0.7y=35-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

მიუმატეთ \frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ს. პირობები \frac{x}{2} და -\frac{x}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

მიუმატეთ \frac{7y}{10} -\frac{y}{5}-ს.

$$0.5y=35-20$$

მიუმატეთ 35 -20-ს.

$$0.5y=15$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$y=30$$

ჩაანაცვლეთ 30-ით y აქ: x+0.4y=40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+0.4\times 30=40$$

გაამრავლეთ 0.4-ზე 30.

$$x+12=40$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=28$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=28,y=30$$