გადაწყვიტეთ {l}{0.4a+0.6b=1}{0.4a-0.4b=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.4 a + 0.6 b = 1 } \\ { 0.4 a - 0.4 b = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=11.5$$

$$b=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.4a+0.6b=1,0.4a-0.4b=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.4a+0.6b=1$$

გამოაკელით \frac{3b}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.4a=-0.6b+1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.4-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$a=2.5\left(-0.6b+1\right)$$

გაამრავლეთ 2.5-ზე -\frac{3b}{5}+1.

$$a=-1.5b+2.5$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3b+5}{2}-ით a მეორე განტოლებაში, 0.4a-0.4b=7.

$$0.4\left(-1.5b+2.5\right)-0.4b=7$$

გაამრავლეთ 0.4-ზე \frac{-3b+5}{2}.

$$-0.6b+1-0.4b=7$$

მიუმატეთ -\frac{3b}{5} -\frac{2b}{5}-ს.

$$-b+1=7$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-b=6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$b=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით b აქ: a=-1.5b+2.5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-1.5\left(-6\right)+2.5$$

გაამრავლეთ -1.5-ზე -6.

$$a=9+2.5$$

მიუმატეთ 2.5 9-ს.

$$a=11.5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=11.5,b=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.4a+0.6b=1,0.4a-0.4b=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\0.4&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.4\left(-0.4\right)-0.6\times 0.4}&-\frac{0.6}{0.4\left(-0.4\right)-0.6\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.4\left(-0.4\right)-0.6\times 0.4}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.4\right)-0.6\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1.5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+1.5\times 7\\1-7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=11.5,b=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.4a+0.6b=1,0.4a-0.4b=7$$

გამოაკელით 0.4a-0.4b=7 0.4a+0.6b=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.4a-0.4a+0.6b+0.4b=1-7$$

მიუმატეთ \frac{2a}{5} -\frac{2a}{5}-ს. პირობები \frac{2a}{5} და -\frac{2a}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.6b+0.4b=1-7$$

მიუმატეთ \frac{3b}{5} \frac{2b}{5}-ს.

$$b=1-7$$

მიუმატეთ 1 -7-ს.

$$b=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით b აქ: 0.4a-0.4b=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$0.4a-0.4\left(-6\right)=7$$

გაამრავლეთ -0.4-ზე -6.

$$0.4a+2.4=7$$

გამოაკელით 2.4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.4a=4.6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.4-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$a=11.5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=11.5,b=-6$$