გადაწყვიტეთ {l}{0.3x+y=4.8}{x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + y = 4.8 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{158}{13} = 12\frac{2}{13} \approx 12.153846154$$

$$y = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.3x+y=4.8$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.3x=-y+4.8$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.3-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{10}{3}\left(-y+4.8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{10}{3}-ზე -y+4.8.

$$x=-\frac{10}{3}y+16$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{10y}{3}+16-ით x მეორე განტოლებაში, x-y=11.

$$-\frac{10}{3}y+16-y=11$$

მიუმატეთ -\frac{10y}{3} -y-ს.

$$-\frac{13}{3}y+16=11$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{13}{3}y=-5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{13}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{15}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{13}-ით y აქ: x=-\frac{10}{3}y+16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{15}{13}+16$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{3}-ზე \frac{15}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{50}{13}+16$$

მიუმატეთ 16 -\frac{50}{13}-ს.

$$x=\frac{158}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&\frac{0.3}{0.3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{10}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}\times 4.8+\frac{10}{13}\times 11\\\frac{10}{13}\times 4.8-\frac{3}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{158}{13}\\\frac{15}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

იმისათვის, რომ \frac{3x}{10} და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.3-ზე.

$$0.3x+y=4.8,0.3x+0.3\left(-1\right)y=0.3\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$0.3x+y=4.8,0.3x-0.3y=3.3$$

გამოაკელით 0.3x-0.3y=3.3 0.3x+y=4.8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.3x-0.3x+y+0.3y=4.8-3.3$$

მიუმატეთ \frac{3x}{10} -\frac{3x}{10}-ს. პირობები \frac{3x}{10} და -\frac{3x}{10} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y+0.3y=4.8-3.3$$

მიუმატეთ y \frac{3y}{10}-ს.

$$1.3y=4.8-3.3$$

მიუმატეთ 4.8 -3.3-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$1.3y=1.5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.3-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{15}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{13}-ით y აქ: x-y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-\frac{15}{13}=11$$

მიუმატეთ \frac{15}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{158}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$