გადაწყვიტეთ {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა r, t-ისთვის

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი r-ისთვის, r-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

გამოაკელით \frac{t}{50} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.07-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

გაამრავლეთ \frac{100}{7}-ზე -\frac{t}{50}+0.16.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2t+16}{7}-ით r მეორე განტოლებაში, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

გაამრავლეთ 0.05-ზე \frac{-2t+16}{7}.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

მიუმატეთ -\frac{t}{70} -\frac{3t}{100}-ს.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

გამოაკელით \frac{4}{35} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{31}{700}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$t=-\frac{67}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{67}{31}-ით t აქ: r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ r.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{7}-ზე -\frac{67}{31} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

მიუმატეთ \frac{16}{7} \frac{134}{217}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$r=\frac{90}{31}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - r და t.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

იმისათვის, რომ \frac{7r}{100} და \frac{r}{20} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.05-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.07-ზე.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

გაამარტივეთ.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

გამოაკელით 0.0035r-0.0021t=0.0147 0.0035r+0.001t=0.008-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

მიუმატეთ \frac{7r}{2000} -\frac{7r}{2000}-ს. პირობები \frac{7r}{2000} და -\frac{7r}{2000} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

მიუმატეთ \frac{t}{1000} \frac{21t}{10000}-ს.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

მიუმატეთ 0.008 -0.0147-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$0.0031t=-0.0067$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.0031-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$t=-\frac{67}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{67}{31}-ით t აქ: 0.05r-0.03t=0.21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ r.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

გაამრავლეთ -0.03-ზე -\frac{67}{31} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

გამოაკელით \frac{201}{3100} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 20-ზე.

$$r=\frac{90}{31}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$