გადაწყვიტეთ {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0,6x+2y=20$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$0,6x=-2y+20$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0,6-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

გაამრავლეთ \frac{5}{3}-ზე -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-10y+100}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

მიუმატეთ \frac{40y}{3} y-ს.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

მიუმატეთ -\frac{400}{3} 2-ს.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

მიუმატეთ \frac{394}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{43}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{391}{43}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{391}{43}-ით y აქ: x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{3}-ზე \frac{391}{43} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

მიუმატეთ \frac{100}{3} -\frac{3910}{129}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{130}{43}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

იმისათვის, რომ \frac{3x}{5} და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0,6-ზე.

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

გამოაკელით -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 -2,4x-8y=-80-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

მიუმატეთ -\frac{12x}{5} \frac{12x}{5}-ს. პირობები -\frac{12x}{5} და \frac{12x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

მიუმატეთ -8y -\frac{3y}{5}-ს.

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

მიუმატეთ -80 0,6-ს.

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

მიუმატეთ 1,2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8,6y=-78,2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -8,6-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{391}{43}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{391}{43}-ით y აქ: -4x+y+2=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

მიუმატეთ \frac{391}{43} 2-ს.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

გამოაკელით \frac{477}{43} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=\frac{130}{43}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$