გადაწყვიტეთ {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-0,6$$

$$y=-3,2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -0,3 2y+1-ზე.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

დაამატეთ 0,3 ორივე მხარეს.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

შეკრიბეთ 1,5 და 0,3, რათა მიიღოთ 1,8.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3+3y=2y-2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$3x+3+y=-2$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x+y=-2-3$$

გამოაკელით 3 -2-ს -5-ის მისაღებად.

$$3x+y=-5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

მიუმატეთ \frac{3y}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0,2x=0,6y+1,8$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$x=5\left(0,6y+1,8\right)$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{3y+9}{5}.

$$x=3y+9$$

ჩაანაცვლეთ 9+3y-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+y=-5.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

გაამრავლეთ 3-ზე 9+3y.

$$9y+27+y=-5$$

მიუმატეთ 9y y-ს.

$$10y+27=-5$$

გამოაკელით 27 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10y=-32$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=-\frac{16}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{16}{5}-ით y აქ: x=3y+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{16}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

მიუმატეთ 9 -\frac{48}{5}-ს.

$$x=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -0,3 2y+1-ზე.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

დაამატეთ 0,3 ორივე მხარეს.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

შეკრიბეთ 1,5 და 0,3, რათა მიიღოთ 1,8.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3+3y=2y-2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$3x+3+y=-2$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x+y=-2-3$$

გამოაკელით 3 -2-ს -5-ის მისაღებად.

$$3x+y=-5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&-\frac{-0,6}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&\frac{0,2}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1,8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1,8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -0,3 2y+1-ზე.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

დაამატეთ 0,3 ორივე მხარეს.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

შეკრიბეთ 1,5 და 0,3, რათა მიიღოთ 1,8.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+1-ზე.

$$3x+3+3y=2y-2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$3x+3+y=-2$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$3x+y=-2-3$$

გამოაკელით 3 -2-ს -5-ის მისაღებად.

$$3x+y=-5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{5} და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0,2-ზე.

$$3\times 0,2x+3\left(-0,6\right)y=3\times 1,8;0,2\times 3x+0,2y=0,2\left(-5\right)$$

გაამარტივეთ.

$$0,6x-1,8y=5,4;0,6x+0,2y=-1$$

გამოაკელით 0,6x+0,2y=-1 0,6x-1,8y=5,4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0,6x-0,6x-1,8y-0,2y=5,4+1$$

მიუმატეთ \frac{3x}{5} -\frac{3x}{5}-ს. პირობები \frac{3x}{5} და -\frac{3x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-1,8y-0,2y=5,4+1$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{5} -\frac{y}{5}-ს.

$$-2y=5,4+1$$

მიუმატეთ 5,4 1-ს.

$$-2y=6,4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-\frac{16}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{16}{5}-ით y აქ: 3x+y=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

მიუმატეთ \frac{16}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$