გადაწყვიტეთ {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+5y=1$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-5y+1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -5y+1.

$$x=5y-1$$

ჩაანაცვლეთ 5y-1-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

გაამრავლეთ -2-ზე 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

მიუმატეთ -10y -5y-ს.

$$-15y+2=11$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15y=9$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=-\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{5}-ით y აქ: x=5y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

მიუმატეთ -1 -3-ს.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

იმისათვის, რომ -x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

გაამარტივეთ.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

გამოაკელით 2x+5y=-11 2x-10y=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10y-5y=-2+11$$

მიუმატეთ -10y -5y-ს.

$$-15y=-2+11$$

მიუმატეთ -2 11-ს.

$$-15y=9$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=-\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{5}-ით y აქ: -2x-5y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=8$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$