გადაწყვიტეთ {l}{-5a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=\frac{3}{5}=0.6$$

$$b = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4a ორივე მხარეს.

$$-5a-4a=2b-3$$

დააჯგუფეთ -5a და -4a, რათა მიიღოთ -9a.

$$-9a=2b-3$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$a=-\frac{1}{9}\left(2b-3\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{9}-ზე 2b-3.

$$a=-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2b}{9}+\frac{1}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}\right)-b=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{2b}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{4}{9}b-\frac{2}{3}-b=0$$

მიუმატეთ \frac{4b}{9} -b-ს.

$$-\frac{5}{9}b-\frac{2}{3}=0$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{9}b=\frac{2}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=-\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{6}{5}-ით b აქ: a=-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{9}-ზე -\frac{6}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=\frac{4}{15}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{4}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4a ორივე მხარეს.

$$-5a-4a=2b-3$$

დააჯგუფეთ -5a და -4a, რათა მიიღოთ -9a.

$$-9a=2b-3$$

გამოაკელით 2b ორივე მხარეს.

$$-9a-2b=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი a არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2a-ზე.

$$-b=2a$$

გამოაკელით 2a ორივე მხარეს.

$$-b-2a=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-9a-2b=-3,-2a-b=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4a ორივე მხარეს.

$$-5a-4a=2b-3$$

დააჯგუფეთ -5a და -4a, რათა მიიღოთ -9a.

$$-9a=2b-3$$

გამოაკელით 2b ორივე მხარეს.

$$-9a-2b=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი a არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2a-ზე.

$$-b=2a$$

გამოაკელით 2a ორივე მხარეს.

$$-b-2a=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-9a-2b=-3,-2a-b=0$$

იმისათვის, რომ -9a და -2a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე.

$$-2\left(-9\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-9\left(-2\right)a-9\left(-1\right)b=0$$

გაამარტივეთ.

$$18a+4b=6,18a+9b=0$$

გამოაკელით 18a+9b=0 18a+4b=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18a-18a+4b-9b=6$$

მიუმატეთ 18a -18a-ს. პირობები 18a და -18a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4b-9b=6$$

მიუმატეთ 4b -9b-ს.

$$-5b=6$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$b=-\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{6}{5}-ით b აქ: -2a-b=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$-2a-\left(-\frac{6}{5}\right)=0$$

გამოაკელით \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2a=-\frac{6}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$a=\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$