გადაწყვიტეთ {l}{-3x+5y=-16}{-5x-4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = - 16 } \\ { - 5 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-3x+5y=-16$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-5y-16$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y-16\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y+16}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x-4y=-2.

$$-5\left(\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}\right)-4y=-2$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{5y+16}{3}.

$$-\frac{25}{3}y-\frac{80}{3}-4y=-2$$

მიუმატეთ -\frac{25y}{3} -4y-ს.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{80}{3}=-2$$

მიუმატეთ \frac{80}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{74}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{37}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{16}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{3}-ზე -2.

$$x=\frac{-10+16}{3}$$

მიუმატეთ \frac{16}{3} -\frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&-\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-16\right)-\frac{5}{37}\left(-2\right)\\\frac{5}{37}\left(-16\right)-\frac{3}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

იმისათვის, რომ -3x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 5y=-5\left(-16\right),-3\left(-5\right)x-3\left(-4\right)y=-3\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$15x-25y=80,15x+12y=6$$

გამოაკელით 15x+12y=6 15x-25y=80-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-25y-12y=80-6$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-25y-12y=80-6$$

მიუმატეთ -25y -12y-ს.

$$-37y=80-6$$

მიუმატეთ 80 -6-ს.

$$-37y=74$$

ორივე მხარე გაყავით -37-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: -5x-4y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x-4\left(-2\right)=-2$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$-5x+8=-2$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-2$$