გადაწყვიტეთ {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=1$$

$$b=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4a ორივე მხარეს.

$$-3a-4a=2b-3$$

დააჯგუფეთ -3a და -4a, რათა მიიღოთ -7a.

$$-7a=2b-3$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{7}-ზე 2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2b+3}{7}-ით a მეორე განტოლებაში, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

მიუმატეთ \frac{4b}{7} -b-ს.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

მიუმატეთ \frac{6}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით b აქ: a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{7}-ზე -2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

მიუმატეთ \frac{3}{7} \frac{4}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=1,b=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4a ორივე მხარეს.

$$-3a-4a=2b-3$$

დააჯგუფეთ -3a და -4a, რათა მიიღოთ -7a.

$$-7a=2b-3$$

გამოაკელით 2b ორივე მხარეს.

$$-7a-2b=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი a არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2a-ზე.

$$-b=2a$$

გამოაკელით 2a ორივე მხარეს.

$$-b-2a=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=1,b=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4a ორივე მხარეს.

$$-3a-4a=2b-3$$

დააჯგუფეთ -3a და -4a, რათა მიიღოთ -7a.

$$-7a=2b-3$$

გამოაკელით 2b ორივე მხარეს.

$$-7a-2b=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი a არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2a-ზე.

$$-b=2a$$

გამოაკელით 2a ორივე მხარეს.

$$-b-2a=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

იმისათვის, რომ -7a და -2a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

გაამარტივეთ.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

გამოაკელით 14a+7b=0 14a+4b=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

მიუმატეთ 14a -14a-ს. პირობები 14a და -14a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4b-7b=6$$

მიუმატეთ 4b -7b-ს.

$$-3b=6$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$b=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით b აქ: -2a-b=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2a=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$a=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=1,b=-2$$